¿Cuál es la diferencia entre desviación estándar poblacional y muestral?

La desviación estándar poblacional (σ) calcula la variabilidad para una población completa dividiendo entre N, mientras que la desviación estándar muestral (s) estima la variabilidad poblacional a partir de una muestra dividiendo entre N-1. El denominador N-1 corrige el sesgo al estimar parámetros poblacionales a partir de datos muestrales.

¿Cuándo debo usar la desviación estándar poblacional vs muestral?

Usa la desviación estándar poblacional cuando tengas datos de todos los miembros de la población. Usa la desviación estándar muestral cuando trabajes con un subconjunto de la población para estimar parámetros poblacionales. En investigación, la desviación estándar muestral es la más común porque recopilar datos de poblaciones enteras rara vez es viable.

¿Cuál es el símbolo de la desviación estándar poblacional?

El símbolo de la desviación estándar poblacional es la letra griega sigma (σ). La media poblacional se representa con mu (μ), y N representa el número total de valores en la población.

¿Cuál es el símbolo de la desviación estándar muestral?

El símbolo de la desviación estándar muestral es la letra minúscula s. La media muestral se representa con x̄ (x barra), y el denominador usa N-1 en lugar de N para corregir el sesgo muestral.

¿Por qué se usa N-1 en la desviación estándar muestral?

Dividir entre N-1 en lugar de N proporciona una estimación insesgada de la desviación estándar poblacional a partir de datos muestrales. Esta corrección, conocida como corrección de Bessel, tiene en cuenta que los datos muestrales tienden a subestimar la variabilidad poblacional. El ajuste N-1 aumenta ligeramente la desviación estándar calculada para aproximar mejor el valor real de la población.

¿Cómo se calcula la varianza a partir de la desviación estándar?

La varianza es igual a la desviación estándar elevada al cuadrado. Para la varianza poblacional: σ² = (desviación estándar)². Para la varianza muestral: s² = (desviación estándar)². A la inversa, la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza.

Desviación Estándar: Fórmula Población vs Muestra

En esta lección, compararemos la fórmula de desviación estándar poblacional vs. muestral y cómo calcular ambas ecuaciones a mano paso a paso.

La desviación estándar requiere conocer el promedio (media) de la población o muestra que medimos. Demostraremos cómo calcular la media para un conjunto de valores usando ejemplos detallados.

Esta lección también muestra cómo calcular la varianza a partir de la desviación estándar usando una relación matemática sencilla.

¿Qué es la Desviación Estándar? Definición y Explicación

La desviación estándar mide qué tan dispersos están los valores de un conjunto de datos respecto a su promedio. Dicho de otro modo, mide la dispersión de un grupo de datos respecto a la media. Cuanto más dispersos estén, mayor será la desviación estándar. La desviación estándar es un componente fundamental en muchos procedimientos estadísticos, incluyendo el análisis de correlación y las pruebas de hipótesis.

Para asegurarnos de entender este concepto, piensa en los siguientes dos grupos de números: 2, 3, 4 y 2, 4, 6.

¿Cuál conjunto tiene mayor desviación estándar?

Exacto: el segundo grupo, compuesto por 2, 4 y 6. Pero, ¿por qué? Comparemos estos grupos usando una recta numérica.

Recta numérica que muestra la distribución de los valores 2, 3, 4 y 2, 4, 6 para ilustrar la desviación estándar

Figura 1: Comparación en recta numérica mostrando la dispersión de valores para el cálculo de la desviación estándar

La desviación estándar del segundo grupo (2, 4, 6) debe ser mayor porque los valores en la recta numérica están más dispersos. Por el contrario, los números del primer grupo (2, 3, 4) están más cercanos entre sí, por lo que la desviación estándar debe ser menor.

Pero, ¿cómo comprobamos que estamos en lo correcto? Al fin y al cabo, un conjunto de datos puede tener cientos o miles de valores.

Como probablemente adivinaste, usando la ecuación de la desviación estándar.

Antes de practicar nuestras habilidades matemáticas, ten en cuenta que existen dos ecuaciones para la desviación estándar:

La fórmula de desviación estándar poblacional calcula la desviación estándar para una población completa y requiere conocer la media poblacional.
La fórmula de desviación estándar muestral se usa para calcular la desviación estándar de una muestra poblacional y requiere conocer la media muestral.

Aquí tienes una comparación lado a lado de ambas fórmulas, con las diferencias resaltadas en rojo.

Comparación lado a lado de las fórmulas de desviación estándar poblacional y muestral con diferencias resaltadas

Figura 2: Comparación de fórmulas de desviación estándar poblacional vs. muestral

Símbolos de Desviación Estándar: Población vs Muestra (σ vs s)

La notación difiere entre las fórmulas de desviación estándar poblacional y muestral:

Símbolo de la Desviación Estándar Poblacional:

σ (letra griega sigma minúscula) = desviación estándar poblacional
μ (letra griega mu minúscula) = media poblacional
N = número total de valores en la población

Símbolo de la Desviación Estándar Muestral:

s (letra minúscula s) = desviación estándar muestral
x̄ (x barra) = media muestral
N-1 = tamaño de la muestra menos uno (corrección de Bessel)

Ambas fórmulas calculan la desviación estándar con el mismo enfoque fundamental, con diferencias clave en la notación y el denominador (N vs N-1) que demostraremos en detalle a continuación.

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Fórmula de Desviación Estándar Poblacional

Como su nombre indica, la siguiente ecuación se usa para calcular la desviación estándar de una población dada.

Fórmula de desviación estándar poblacional con los símbolos griegos sigma, mu y notación de sumatoria

Figura 3: Fórmula de desviación estándar poblacional

Donde:

σ = símbolo de la desviación estándar poblacional
Σ = suma de los siguientes términos
xi = cada punto del conjunto de datos (observación o miembro de la población)
μ = media poblacional
N = número de valores en la población

Así se lee la fórmula: la desviación estándar (σ) es igual a la raíz cuadrada de la suma (Σ) de todas las diferencias al cuadrado entre cada punto xi del conjunto de datos y la media poblacional (μ), dividido entre el total de valores del conjunto (N).

A continuación, calculemos la desviación estándar del conjunto de números 3, 4 y 5 usando la fórmula poblacional.

Paso 1: Encontrar la media (μ)

Para encontrar la media de todos los miembros de una población, calcula la suma de todos sus valores y divide entre el número de valores del conjunto. Aquí está la media del conjunto 3, 4 y 5.

$\mu=\frac{3+4+5}{3}=\frac{12}{3}=4$

CONSEJO: Cuando los números de un conjunto están igualmente espaciados, la media será el número central. Por ejemplo, para el conjunto 2, 5, 7, 9, 12, la media es 7.

Paso 2: Calcular la fórmula de desviación estándar poblacional

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{N}}$

Para el conjunto 3, 4 y 5, cada punto xi = x3, x4, x5, la media μ = 4 como calculamos antes, y la población N = 3 (ya que tenemos tres valores). Ingresemos estos números en la ecuación:

$\sigma=\sqrt{\frac{(3-4)^{2}+(4-4)^{2}+(5-4)^{2}}{3}}$

Paso 3: Calcular la suma de todos los puntos

$\sigma=\sqrt{\frac{1+0+1}{3}}$

Paso 4: Resolver la raíz cuadrada

$\sigma=\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{0.66}=0.81$

La desviación estándar poblacional del conjunto 3, 4 y 5 es 0.81.

PRÁCTICA: Usando la fórmula de desviación estándar poblacional y siguiendo el ejemplo anterior, calcula la desviación estándar del conjunto 2, 4 y 6. ¿La desviación estándar es mayor o menor que 0.81?

Sin embargo, hay un tema importante con las muestras. Mientras que la media poblacional siempre permanece igual (calculamos la media de TODOS los miembros de la población), una muestra puede variar de una a otra.

Por ejemplo, si cerramos los ojos y tomamos varias muestras aleatorias de 5 números de un recipiente con cien números, cada muestra probablemente contendrá números diferentes. Por lo tanto, las medias muestrales también diferirán entre muestras.

Entonces, ¿cómo nos aseguramos de que la muestra sea representativa de la población de donde fue tomada? Aquí entra otro término estadístico: el error estándar. No cubriremos el error estándar aquí, ya que el artículo enlazado contiene todo lo que necesitas saber al respecto.

Fórmula de Desviación Estándar Muestral

¿Qué sucede cuando no tenemos acceso a toda la población sino solo a una muestra? Este es frecuentemente el caso en la investigación social y, afortunadamente, la fórmula de desviación estándar muestral no es muy diferente de la poblacional.

Fórmula de desviación estándar muestral con los símbolos s, x barra y denominador N-1

Figura 4: Fórmula de desviación estándar muestral

Donde:

s = símbolo de la desviación estándar muestral
Σ = suma de los siguientes términos
xi = cada punto del conjunto de datos (observación o miembro de la muestra)
x̄ = media muestral
N-1 = número de valores en la muestra (N) menos 1

Así se lee la ecuación: la desviación estándar muestral (s) es igual a la raíz cuadrada de la suma (Σ) de las diferencias al cuadrado entre cada dato (xi) de la muestra y la media muestral (x̄), dividido entre N - 1.

La diferencia entre ambas fórmulas es fácil de identificar. Una diferencia obvia es la notación: x̄ para la media muestral en lugar de μ para la media poblacional. Otra diferencia es que dividimos entre N - 1.

La matemática de la desviación estándar muestral es prácticamente igual, pero calculémosla de todos modos. Esta vez usaremos el segundo conjunto de valores de nuestra recta numérica: 2, 4 y 6.

Paso 1: Calcular la media muestral (x̄)

Este paso es igual que encontrar el promedio poblacional en el ejemplo anterior. La media muestral del conjunto 2, 4 y 6 es 4. Aquí está la demostración:

$\bar{x}=\frac{2+4+6}{3}=\frac{12}{3}=4$

Paso 2: Calcular la fórmula de desviación estándar muestral

$s=\sqrt{\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{N-1}}$

A continuación, ingresa los valores en la ecuación:

$s=\sqrt{\frac{(2-4)^{2}+(4-4)^{2}+(6-4)^{2}}{3-1}}$

Paso 3: Resolver la raíz cuadrada

$s=\sqrt{\frac{4+0+4}{2}}=\sqrt{4}=2$

La desviación estándar muestral del conjunto 2, 4 y 6 es 2.

PRÁCTICA:

Usando la fórmula de desviación estándar muestral y siguiendo el ejemplo anterior, calcula la desviación estándar del conjunto 2, 5, 7, 9 y 12. Para facilitarte el cálculo, la media es 7.

Cuándo Usar Desviación Estándar Poblacional vs Muestral

La elección entre desviación estándar poblacional y muestral depende de tu conjunto de datos:

Usa la Desviación Estándar Poblacional (σ) cuando:

Tengas datos de todos los miembros de la población
Estés analizando un conjunto de datos completo y finito
Quieras describir la variabilidad real de todo tu conjunto de datos
Ejemplo: calificaciones de todos los estudiantes de un aula

Usa la Desviación Estándar Muestral (s) cuando:

Trabajes con un subconjunto de una población mayor
Quieras estimar parámetros poblacionales a partir de datos muestrales
Realices una investigación donde recopilar todos los datos poblacionales sea impráctico
Ejemplo: respuestas de encuesta de 500 personas para estimar opiniones de 50,000 residentes

En investigación y estadística, la desviación estándar muestral es mucho más frecuente porque acceder a poblaciones completas rara vez es viable. El denominador N-1 en la fórmula muestral proporciona una estimación insesgada de la desviación estándar poblacional. Para cálculos prácticos, puedes usar las funciones integradas de Excel para calcular ambas desviaciones estándar automáticamente.

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Cómo Calcular la Varianza a Partir de la Desviación Estándar

La desviación estándar y la varianza son medidas de dispersión estrechamente relacionadas. Mientras que la desviación estándar muestra qué tan dispersos están los valores respecto a la media, la varianza representa la distancia promedio al cuadrado de cada punto respecto a la media. La varianza es fundamental para muchas pruebas estadísticas, incluyendo el ANOVA y el análisis de regresión.

La relación entre desviación estándar y varianza se vuelve clara al observar cómo se calcula la varianza. Si conocemos la desviación estándar poblacional o muestral, solo debemos elevarla al cuadrado para obtener la varianza.

$\sigma^{2}={\frac{\sum\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{N}}$

Por ejemplo, el resultado de la desviación estándar poblacional que calculamos antes es σ = 0.81, así que podemos obtener la varianza poblacional: 0.81² = 0.6561. La varianza del conjunto 3, 4 y 5 es 0.6561.

Lo mismo aplica para calcular la varianza muestral usando la siguiente ecuación:

$s^{2}={\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{N-1}}$

Para encontrar la varianza de la muestra que calculamos antes, solo debemos elevar al cuadrado la desviación estándar muestral: s² = 2² = 4.

Preguntas Frecuentes Sobre Desviación Estándar Poblacional y Muestral

Próximos Pasos

Ahora que dominas las fórmulas de desviación estándar poblacional y muestral, puedes profundizar en cómo estas medidas se aplican en contextos prácticos.

Desviación Estándar en R: Función sd() y Ejemplos. Aprende a calcular la desviación estándar directamente en R usando la función sd() y estructuras de datos como vectores y data frames.
Medidas de Tendencia Central: Media, Mediana y Moda. Complementa tu comprensión de la dispersión con las medidas de tendencia central, que trabajan junto con la desviación estándar para describir distribuciones de datos.

Referencias

Diez, D. M., Cetinkaya-Rundel, M., & Barr, C. D. (2019). OpenIntro: Statistics (4th ed.). OpenIntro.

Field, A. (2018). Discovering statistics using IBM SPSS statistics (5th ed.). Sage.